投资学、核物理与随机矩阵(一)

2020-07-11 3W访问
投资学、核物理与随机矩阵(一)

Figure1. 位于纽约曼哈顿的文艺复兴避险基金总部。这个金融机构在业界便以物理学家和数学家的班底着名。(其创办人也为知名数学家 J. Simons )(photo credit: 作者自摄)

近二三十年来有一个新起的学门叫做经济物理(Econophysics)十之八九的人一听到这个名字,大概会皱起眉头询问这两个学科有什幺关係。从日常柴米油盐的角度,这两个社群固然是风马牛不相及,但从定量科学的角度—

都是算数学,没有什幺太大的差别。

当然不同社群的研究者切入问题的角度跟直觉都相去甚远,但也部份地基于这个原因,经济物理便着力于使用物理学中攻击複杂系统的技巧来处理财金问题,近年来也有越来越多的财务着作发表在物理学评论 E (physical review E)或物理学评论通讯(physical review letter)。

不侷限于物理学的窠臼。事实上在许多定量科学的研究中,有一些行为是很一致的。我们常先有一些对于实务的观察,接着我们尝试把这些观察抽象化成一些数学模型,并且从这些数学模型去得到预测性的结果。在物理学中这个预测可能是未来某个实验会观测到的现象,在财务上,这个预测就是我们应该要採取的处理钱财的策略。

但笔者必须指出一点财务问题与常见物理问题的不同之处。

电子不会因为你知道了薛丁格方程,它就赌气不再遵守薛丁格方程式了。当你找出一个游戏规则,在物理学中你就可以重複地应用它。但财务问题不同,当你找到一个很好的赚钱策略,然后大家一窝蜂地遵循这个策略,供需平衡的结果就会让这个优势失效,然后我们就得再回家做功课。

让我们转回到财务问题。在众多财务问题中,其中一个很直觉的主题就是投资。这个问题之所以普世,是因为它的规模可大可小,从儿童们对压岁钱的消费、上班族对薪水的支用,到基金经理人对资本的分配,在生命中不同时刻我们一直进行着如何进行投资选择的问题。

若我们考虑所有可能的投资选项:包括债券、股票、选择权及其他衍生性商品,那投资其实跟赌博没有两样。意思是—不要过于相信自己(的直觉),要相信数学。

这时我们就可以检视一下我们对于金钱有哪些很普世的直觉。

譬如:「不要将鸡蛋放在同一个篮子里。」这句话是一种感觉,抑或有定量上的结果?我们可以考虑下面简单的情境。譬如有两个商品 A 跟 B,从时间 1 到时间 2 ,A 上涨了 100% 而 B 跌了 50%,从时间 2 到时间 3,A 下跌了 50% 而 B 涨了 100%。若你有 100 单位的资本,全部投注在 A 或 B 上,则在时间 3,你不赚不赔。

但如果在时间 1 你将 50 单位给 A ,另外 50 单位给 B,在时间 2 时,你拥有 125 单位。然后你再重新分配,将 62.5 单位给 A 并将 62.5 单位给 B,则在时间 3 时,你会得到净利。所以在某些状况下,不要把鸡蛋放在同一个篮子似乎有点道理。

再譬如:「利润愈大,风险愈高。」这句话只是我们正常人的迷思,还是数学上也为真?在回答这个问题之前,我们必须先想办法在数学上定义「风险」(risk)才能把这个因素放进模型里做计算。

然而就我所知,就连这件我们以为很有直觉的事情都不一定有很普世的数学定义。

近代关于投资策略的理论是由 Markowitz 建立的。在他的模型中,给定金融商品的统计资讯,我们可以计算某一组投资组合的平均报酬,同时也能计算这个组合的标準差,在这个平均-变异数模型内,变异数或它的平方根,标準差,被当成了量化风险的一个指标。统计上的意义就是,如果标準差极小,那我的报酬就有很大的机率会是我计算的平均。(当然也可以用高中学的信心水準作更精确的陈述。)

有了这些量化的定义,我们便可以尝试回答是不是利润越高风险越大。在最简单的 (i) 固定总资本并 (ii) 没有无风险资产的模型中,根据「对风险的容忍度」,我们其实有办法在报酬和风险的平面上画出一条「效率边界」(efficient frontier)这条线,这条线代表我们在这个模型中最有效率的玩法,也就是给定风险时,此线给出的期望报酬最高,而固定期望报酬时,此线上的点具有的风险最低。而且该边界的走向也是还符合一开始的直觉—追求更大的利润,就要承担更大的风险。

投资学、核物理与随机矩阵(一)

Figure2. 在 Markowitz 模型中,一个典型的报酬与风险关係图。蓝色的曲线表示「最有效率」的投资方法,也就是「效率边界」,在蓝线和灰色虚线之间是其他可以实现(但比较没有效率的投资。)(photo credit: 作者自绘)

回到前面问题的叙述,要计算平均与变异数需要金融商品,比如说道琼指数前 100 大的股票,的价格等讯息。实务上这些资讯可以透过公开的交易纪录获得—而一个很自然的问题就是,这些金融商品的统计关联性是不是有迹可循?

在下文中,笔者将为大家介绍在物理学中也曾经有一些问题需要分析杂乱无章的矩阵资讯,而这个光谱问题,促发了随机矩阵理论的发展,更后来的学者们,更将这个技术转移到了金融商品资讯的分析上。